Α1

Σωστή επιλογή: β.

Α2

Σωστή επιλογή: β.

Α3

Σωστή επιλογή: δ.

Α4

Σωστή επιλογή: β.

Α5

α) Σωστό · β) Λάθος · γ) Σωστό · δ) Σωστό · ε) Λάθος

Β1 α)

Σωστή επιλογή: ii.

β)

Η διαφορά χρόνων άφιξης των κυμάτων είναι \(\Delta t=5T/2\). Άρα:

Ελέγχουμε τη συνθήκη αποσβεστικής συμβολής:

Η διαφορά δρόμων είναι περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος, οπότε έχουμε αποσβεστική συμβολή:

Β2 α)

Σωστή επιλογή: ii.

β)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΖΚ, με \(h=R/5\):

Για να αρχίσει ο τροχός να ανεβαίνει γύρω από την ακμή Κ, η ροπή της δύναμης F πρέπει να υπερνικά τη ροπή του βάρους. Οι μοχλοβραχίονες είναι \(2R-h\) και \(ZK=R\operatorname{ημ}\varphi\), αντίστοιχα:

Η ισότητα αντιστοιχεί στην οριακή κατάσταση έναρξης της ανατροπής γύρω από το Κ.

Β3 α)

Σωστή επιλογή: iii.

β)

Οι δύο μάζες είναι ίσες και το δεύτερο σώμα αρχικά ακίνητο. Η διατήρηση της κινητικής ενέργειας δίνει:

Από τη διατήρηση της ορμής:

Υψώνοντας το μέτρο της διανυσματικής σχέσης στο τετράγωνο:

Με τη σχέση (1):

Στην έκκεντρη κρούση της άσκησης και οι δύο τελικές ορμές είναι μη μηδενικές. Επομένως:

Γ1 α)

Από τη φωτοηλεκτρική εξίσωση:

Με \(hc=1200\,\mathrm{eV\,nm}\), \(\lambda=150\,\mathrm{nm}\), \(\phi=3\,\mathrm{eV}\) και \(1\,\mathrm{eV}=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm J\):

Για την αποκοπή εφαρμόζουμε αντίθετη τάση, με κάθοδο θετική και άνοδο αρνητική. Το ταχύτερο ηλεκτρόνιο φτάνει στην άνοδο με μηδενική κινητική ενέργεια:

Γ1 β)

Η επιταχύνουσα τάση προσφέρει ενέργεια \(eV=64\cdot10^{-19}\,\mathrm J\). Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας:

Γ2 α)

Για ημικυκλική τροχιά ο χρόνος είναι μισή περίοδος:

Γ2 β)

Το μαγνητικό πεδίο δεν μεταβάλλει το μέτρο της ταχύτητας. Μετά από μισή περιστροφή η ορμή έχει αντίθετη φορά από την αρχική:

Δ1

Στην οριζόντια διεύθυνση, η ράβδος ισορροπεί υπό τη δύναμη F και την τάση του νήματος:

Το αβαρές νήμα μεταφέρει την ίδια τάση στο σώμα \(T_\nu^\prime=T_\nu\). Από την ισορροπία του σώματος με το ελατήριο:

Δ2

Μετά τη λύση του νήματος το σώμα αφήνεται από την ηρεμία στην αρχική επιμήκυνση. Η ενέργεια ταλάντωσης δίνει:

Για \(t_0=0\) ισχύουν \(x_0=+A\) και \(\upsilon_0=0\). Συνεπώς:

Δ3

Ο αγωγός ΚΛ κινείται προς τα δεξιά. Η μεταβολή του εμβαδού του κυκλώματος προκαλεί μεταβολή της μαγνητικής ροής. Από τον κανόνα Lenz, το ρεύμα έχει φορά τέτοια ώστε η δύναμη Laplace να αντιτίθεται στην κίνηση: στον αγωγό ρέει από το Λ προς το Κ. Η πολικότητα είναι Κ(+) και Λ(−).

Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του αγωγού δέχονται δύναμη Lorentz μέτρου \(F_{\mathrm{Lor}}=B\upsilon e\). Συσσωρεύονται στο Λ, ενώ στο Κ δημιουργείται έλλειμμα ηλεκτρονίων. Το ηλεκτρικό πεδίο που αναπτύσσεται δίνει αντίθετη ηλεκτρική δύναμη. Στην ισορροπία των φορτίων:

Η ΗΕΔ κατά μήκος του αγωγού μήκους L είναι:

Δ4

Η συσκευή έχει ενδείξεις \(P_K=8\,\mathrm W\), \(V_K=4\,\mathrm V\). Επομένως:

Κατά την κανονική λειτουργία \(I_{\mathrm{επ}}=I_K=2\,\mathrm A\). Στην οριακή ταχύτητα:

Η συνολική αντίσταση περιλαμβάνει την αντίσταση του αγωγού και της συσκευής:

Δ5

Ο αγωγός κινείται πλέον με σταθερή οριακή ταχύτητα:

Από τον νόμο Neumann, με μία σπείρα:

Α1–Α4

Α1: δ · Α2: β · Α3: α · Α4: γ.

Α5

α) Σωστό · β) Σωστό · γ) Λάθος · δ) Λάθος · ε) Σωστό.

Β1

α) Σωστή απάντηση: iii.

β) Αρχική κατάσταση:

Τελική κατάσταση:

Β2

α) Σωστή απάντηση: i.

β) Αρχικά:

Τελικά:

Β3

α) Σωστή απάντηση: ii.

β) Η συνισταμένη των ροπών ως προς Ο είναι μηδενική:

Σύμφωνα με το σχήμα, \(w_1=Mg\) είναι το βάρος του αριστερού τμήματος, \(w=(M/2)g\) το βάρος στο άκρο Α και \(w_2=Mg\) το βάρος του δεξιού τμήματος. Με αντικατάσταση:

Γ1

Γ2

Από τη διατήρηση της ενέργειας:

Γ3

Η εξίσωση Einstein δίνει \(K_e=hf-\phi\). Για να εξέλθει ηλεκτρόνιο απαιτείται \(K_e\ge0\), επομένως \(f\ge\phi/h\).

Γ4

Από το θεώρημα έργου–ενέργειας μεταξύ καθόδου και ανόδου, με τελική κινητική ενέργεια μηδέν:

Δ1

Πριν κοπεί το νήμα, για τον αγωγό ΝΛ:

Το αβαρές νήμα ασκεί ίσες κατά μέτρο τάσεις στα δύο σώματα. Για το σώμα Σ:

Στη νέα θέση ισορροπίας, μετά την κοπή:

Η αρχική θέση γίνεται η πάνω ακραία θέση της ταλάντωσης:

Για \(t=0\), \(x=+A\). Με \(x=A\operatorname{ημ}(\omega t+\varphi_0)\) παίρνουμε \(\varphi_0=\pi/2\).

Δ2

Δ3

Ισχύει \(F=3\,\mathrm{N}\), \(w_2=m_2g=1\,\mathrm{N}\). Αρχικά \(F>w_2\), άρα ο αγωγός επιταχύνεται προς τα πάνω.

Όσο η ταχύτητα αυξάνεται, αυξάνονται η ΗΕΔ, το επαγωγικό ρεύμα και η δύναμη Laplace. Η συνισταμένη και η επιτάχυνση μειώνονται. Η κίνηση είναι επιταχυνόμενη με μειούμενο μέτρο επιτάχυνσης, ώσπου η επιτάχυνση να μηδενιστεί και να επιτευχθεί οριακή ταχύτητα.

Δ4

Εναλλακτικά, στην οριακή κίνηση \(F_L=F-w_2\), οπότε:

Α1

Σωστή επιλογή: β.

Α2

Σωστή επιλογή: β.

Α3

Σωστή επιλογή: δ.

Α4

Σωστή επιλογή: β.

Α5

α) Σωστό · β) Λάθος · γ) Σωστό · δ) Σωστό · ε) Λάθος

Β1 α)

Σωστή επιλογή: ii.

β)

Η διαφορά χρόνων άφιξης των κυμάτων είναι \(\Delta t=5T/2\). Άρα:

Ελέγχουμε τη συνθήκη αποσβεστικής συμβολής:

Η διαφορά δρόμων είναι περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος, οπότε έχουμε αποσβεστική συμβολή:

Β2 α)

Σωστή επιλογή: ii.

β)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΖΚ, με \(h=R/5\):

Για να αρχίσει ο τροχός να ανεβαίνει γύρω από την ακμή Κ, η ροπή της δύναμης F πρέπει να υπερνικά τη ροπή του βάρους. Οι μοχλοβραχίονες είναι \(2R-h\) και \(ZK=R\operatorname{ημ}\varphi\), αντίστοιχα:

Η ισότητα αντιστοιχεί στην οριακή κατάσταση έναρξης της ανατροπής γύρω από το Κ.

Β3 α)

Σωστή επιλογή: iii.

β)

Κατά την πλαστική κρούση διατηρείται η συνολική ορμή στην αρχική διεύθυνση κίνησης:

Γ1 α)

Από τη φωτοηλεκτρική εξίσωση:

Με \(hc=1200\,\mathrm{eV\,nm}\), \(\lambda=150\,\mathrm{nm}\), \(\phi=3\,\mathrm{eV}\) και \(1\,\mathrm{eV}=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm J\):

Για την αποκοπή εφαρμόζουμε αντίθετη τάση, με κάθοδο θετική και άνοδο αρνητική. Το ταχύτερο ηλεκτρόνιο φτάνει στην άνοδο με μηδενική κινητική ενέργεια:

Γ1 β)

Η επιταχύνουσα τάση προσφέρει ενέργεια \(eV=64\cdot10^{-19}\,\mathrm J\). Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας:

Γ2 α)

Γ2 β)

Για ημικυκλική τροχιά ο χρόνος είναι μισή περίοδος:

Δ1

Στην οριζόντια διεύθυνση, η ράβδος ισορροπεί υπό τη δύναμη F και την τάση του νήματος:

Το αβαρές νήμα μεταφέρει την ίδια τάση στο σώμα \(T_\nu^\prime=T_\nu\). Από την ισορροπία του σώματος με το ελατήριο:

Δ2

Μετά τη λύση του νήματος το σώμα αφήνεται από την ηρεμία στην αρχική επιμήκυνση. Η ενέργεια ταλάντωσης δίνει:

Για \(t_0=0\) ισχύουν \(x_0=+A\) και \(\upsilon_0=0\). Συνεπώς:

Δ3

Ο αγωγός ΚΛ κινείται προς τα δεξιά. Η μεταβολή του εμβαδού του κυκλώματος προκαλεί μεταβολή της μαγνητικής ροής. Από τον κανόνα Lenz, το ρεύμα έχει φορά τέτοια ώστε η δύναμη Laplace να αντιτίθεται στην κίνηση: στον αγωγό ρέει από το Λ προς το Κ. Η πολικότητα είναι Κ(+) και Λ(−).

Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του αγωγού δέχονται δύναμη Lorentz μέτρου \(F_{\mathrm{Lor}}=B\upsilon e\). Συσσωρεύονται στο Λ, ενώ στο Κ δημιουργείται έλλειμμα ηλεκτρονίων. Το ηλεκτρικό πεδίο που αναπτύσσεται δίνει αντίθετη ηλεκτρική δύναμη. Στην ισορροπία των φορτίων:

Η ΗΕΔ κατά μήκος του αγωγού μήκους L είναι:

Δ4

Στην οριακή ταχύτητα η επιτάχυνση μηδενίζεται. Το κύκλωμα έχει συνολική αντίσταση R:

Αντικαθιστούμε το ρεύμα στη συνθήκη ισορροπίας δυνάμεων:

Α1

Σωστή επιλογή: δ.

Α2

Σωστή επιλογή: α.

Α3

Σωστή επιλογή: β.

Α4

Σωστή επιλογή: γ.

Α5

α) Λάθος · β) Σωστό · γ) Σωστό · δ) Λάθος · ε) Σωστό

Β1 α)

Σωστή επιλογή: i.

β)

Γράφουμε τη φωτοηλεκτρική εξίσωση για τις δύο ακτινοβολίες:

Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση επί −3 και προσθέτουμε στη δεύτερη:

Β2 α)

Σωστή επιλογή: ii.

β)

Για ημικυκλική τροχιά, ο χρόνος κίνησης ισούται με μισή περίοδο κυκλικής κίνησης:

Άρα, με τις μάζες και τα φορτία των δύο σωματιδίων:

Β3 α)

Σωστή επιλογή: iii.

β)

Στην κατώτερη θέση του σημείου Α, η μεταφορική και η γραμμική ταχύτητά του έχουν αντίθετες φορές:

Χρησιμοποιούμε τη δοσμένη σχέση \(\upsilon_A=\upsilon_{\mathrm{cm}}/4\) και τη συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση:

Στην ανώτερη θέση οι δύο ταχύτητες είναι ομόρροπες:

Γ1 α)

Για το ημικυκλικό τμήμα, κάθε στοιχειώδες τόξο απέχει την ίδια απόσταση α από το κέντρο και δίνει ομόρροπη συνεισφορά στο πεδίο. Από τον νόμο Biot–Savart:

Το άθροισμα των μηκών των στοιχειωδών τόξων είναι το μήκος του ημικυκλίου \(\pi\alpha\). Επομένως:

Από τον κανόνα του δεξιού χεριού το πεδίο έχει φορά από τον αναγνώστη προς τη σελίδα.

Γ1 β)

Γ2 α)

Στη μόνιμη κατάσταση το πηνίο έχει μηδενική ΗΕΔ αυτεπαγωγής. Η ισοδύναμη αντίσταση του εξωτερικού κυκλώματος είναι:

Γ2 β)

Τη στιγμή \(t=t_1\) το ρεύμα του πηνίου διατηρεί την τιμή του: \(I^\prime=I_1^\prime=I_2^\prime=I_2=3\,\mathrm A\). Η ΗΕΔ αυτεπαγωγής έχει πολικότητα πάνω (−), κάτω (+). Από τον δεύτερο κανόνα Kirchhoff:

Δ1 α)

Στο χρονικό διάστημα από 2 s έως 5 s το σημείο εκτελεί μιάμιση ταλάντωση:

Δ1 β)

Για το διάστημα από 2,5 s έως 3,5 s, το σώμα μεταβαίνει από τη μία ακραία θέση στην άλλη. Η διαδρομή είναι \(S=2A\):

Δ2 α)

Η ταχύτητα διάδοσης είναι \(\upsilon_\delta=1\,\mathrm{m/s}\). Το κύμα φτάνει στο Α τη στιγμή \(t_{\mathrm{αφ},A}=2\,\mathrm s\):

Για διάδοση προς τη θετική φορά του άξονα x:

Η εξίσωση ισχύει για τα σημεία στα οποία έχει φτάσει το κύμα, δηλαδή \(t\geq x/\upsilon_\delta\).

Για \(t_1=3{,}5\,\mathrm s\):

Για την επιτάχυνση των σημείων ισχύει \(a=-\omega^2y\). Άρα \(a<0\) όταν \(y>0\), δηλαδή στα διαστήματα:

Δ2 β)

Οι πηγές βρίσκονται στις θέσεις \(x=0\) και \(x=4{,}5\,\mathrm m\). Για σημείο μεταξύ τους:

Για μόνιμη απόσβεση, μετά την άφιξη και των δύο κυμάτων, απαιτείται:

Προσθέτοντας τις δύο εξισώσεις:

Επιβάλλουμε το σημείο να βρίσκεται αυστηρά ανάμεσα στις πηγές:

Οι τέσσερις θέσεις, μετρούμενες από την Π₁, είναι:

Α1–Α4

Α1: α · Α2: β · Α3: δ · Α4: α.

Α5

α) Λάθος · β) Σωστό · γ) Σωστό · δ) Λάθος · ε) Λάθος.

Β1

α) Σωστή απάντηση: iii.

β) Το σύστημα είναι μονωμένο, επομένως διατηρείται η ορμή:

Β2

α) Σωστή απάντηση: iii.

β) Επειδή \(\varphi_M<\varphi_\Lambda\), το κύμα διαδίδεται από το Λ προς το Μ. Τη στιγμή \(t_1\), το Μ βρίσκεται στη θέση ισορροπίας με \(\upsilon_M<0\). Ύστερα από \(3T/2\) βρίσκεται πάλι στη θέση ισορροπίας, με \(\upsilon_M=+\upsilon_{\max}\).

Τη στιγμή \(t_2=t_1+3T/2\):

Β3

α) Σωστή απάντηση: ii.

β) Διατηρείται η ενέργεια του συστήματος φωτονίου–ηλεκτρονίου. Εφόσον \(K_e=E'\):

Για γωνία σκέδασης \(60^\circ\):

Γ1

• Για \(0<t<0{,}1\,\mathrm{s}\): \(\Delta B/\Delta t=0{,}5/0{,}1=5\,\mathrm{T/s}\), οπότε \(|\mathcal E_{\mathrm{επ}}|=10\,\mathrm{V}\).
• Για \(0{,}1<t<0{,}2\,\mathrm{s}\): \(\Delta B/\Delta t=0\), άρα \(|\mathcal E_{\mathrm{επ}}|=0\).

Γ2

Η περιστροφή με σταθερή γωνιακή ταχύτητα δημιουργεί ΗΕΔ:

Σε μία περιστροφή, \(\Delta t=T=2\pi/\omega\). Η εκλυόμενη θερμότητα στον ΚΛ:

Γ3

Γ4

Ο ευθύγραμμος αγωγός ασκεί στον ΚΛ δύναμη με μέτρο:

Η φορά της δύναμης είναι προς τα δεξιά.

Δ1

Από την ισορροπία ροπών της στεφάνης ως προς το κέντρο Κ:

Κατά μήκος του κεκλιμένου:

Το αβαρές νήμα μεταφέρει τάση \(T_1=T_1'=15\,\mathrm{N}\). Για το σώμα Σ1:

Δ2

α) Η ταχύτητα του σημείου Ζ μηδενίζεται όταν το σημείο έρθει σε επαφή με τη δοκό. Τότε έχουν πραγματοποιηθεί \(N=0{,}5+1=1{,}5\) στροφές:

β) Για σημείο Α σε απόσταση R από τη δοκό:

Η μεταφορική κίνηση είναι ομαλά επιταχυνόμενη από την ηρεμία:

Δ3

Επομένως \(t_1=T+T/2\) και το σώμα φτάνει στην άνω ακραία θέση, αφού ξεκινά από την κάτω ακραία.

Στη νέα θέση ισορροπίας:

Επειδή \(A=\Delta\ell'\), η άνω ακραία θέση συμπίπτει με τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Άρα:

Δ4

Κάθετα στη δοκό, για τη στεφάνη:

Από τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, η δύναμη της στεφάνης στη δοκό έχει μέτρο \(N'=32\,\mathrm{N}\). Στις σχέσεις, \(N_{\mathrm{εδ}}\) συμβολίζει τη δύναμη του εδάφους στο άκρο της δοκού· αυτή σημειώνεται ως \(N\) στο σχήμα της δοκού και στον κατακόρυφο άξονα του διαγράμματος. Διακρίνεται από την κάθετη δύναμη επαφής στεφάνης–δοκού.

Στα άκρα του εξεταζόμενου διαστήματος:

Α1

Σωστή επιλογή: δ.

Α2

Σωστή επιλογή: α.

Α3

Σωστή επιλογή: β.

Α4

Σωστή επιλογή: γ.

Α5

α) Λάθος · β) Σωστό · γ) Σωστό · δ) Λάθος · ε) Σωστό

Β1 α)

Σωστή επιλογή: i.

β)

Γράφουμε τη φωτοηλεκτρική εξίσωση για τις δύο ακτινοβολίες:

Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση επί −3 και προσθέτουμε στη δεύτερη:

Β2 α)

Σωστή επιλογή: ii.

β)

Για ημικυκλική τροχιά, ο χρόνος κίνησης ισούται με μισή περίοδο κυκλικής κίνησης:

Άρα, με τις μάζες και τα φορτία των δύο σωματιδίων:

Β3 α)

Σωστή επιλογή: i.

β)

Από την ισορροπία στις δύο διευθύνσεις:

Λαμβάνουμε ροπές ως προς το Γ:

Επειδή \(\operatorname{ημ}45^\circ=\operatorname{συν}45^\circ\), παίρνουμε:

Για να μη γλιστρά η ράβδος, η απαιτούμενη τριβή πρέπει να μην ξεπερνά την οριακή στατική τριβή:

Γ1 α)

Για το ημικυκλικό τμήμα, κάθε στοιχειώδες τόξο απέχει την ίδια απόσταση α από το κέντρο και δίνει ομόρροπη συνεισφορά στο πεδίο. Από τον νόμο Biot–Savart:

Το άθροισμα των μηκών των στοιχειωδών τόξων είναι το μήκος του ημικυκλίου \(\pi\alpha\). Επομένως:

Από τον κανόνα του δεξιού χεριού το πεδίο έχει φορά από τον αναγνώστη προς τη σελίδα.

Γ1 β)

Γ2 α)

Η πηγή είναι ιδανική, συνεπώς η πολική τάση ισούται με την ΗΕΔ της:

Γ2 β)

Δ1 α)

Στο χρονικό διάστημα από 2 s έως 5 s το σημείο εκτελεί μιάμιση ταλάντωση:

Δ1 β)

Τη στιγμή \(t=3\,\mathrm s\), από τη γραφική παράσταση \(\upsilon=-0{,}2\pi\,\mathrm{m/s}\). Από την ενέργεια ταλάντωσης:

Δ2 α)

Η ταχύτητα διάδοσης είναι \(\upsilon_\delta=1\,\mathrm{m/s}\). Το κύμα φτάνει στο Α τη στιγμή \(t_{\mathrm{αφ},A}=2\,\mathrm s\):

Για διάδοση προς τη θετική φορά του άξονα x:

Η εξίσωση ισχύει για τα σημεία στα οποία έχει φτάσει το κύμα, δηλαδή \(t\geq x/\upsilon_\delta\).

Δ2 β)

Οι πηγές βρίσκονται στις θέσεις \(x=0\) και \(x=4{,}5\,\mathrm m\). Για σημείο μεταξύ τους:

Για μόνιμη απόσβεση, μετά την άφιξη και των δύο κυμάτων, απαιτείται:

Προσθέτοντας τις δύο εξισώσεις:

Επιβάλλουμε το σημείο να βρίσκεται αυστηρά ανάμεσα στις πηγές:

Οι τέσσερις θέσεις, μετρούμενες από την Π₁, είναι:

Α1

Σωστή επιλογή: γ.

Α2

Σωστή επιλογή: α.

Α3

Σωστή επιλογή: β.

Α4

Σωστή επιλογή: δ.

Α5

α) Σωστό · β) Σωστό · γ) Λάθος · δ) Λάθος · ε) Σωστό

Β1 α)

Σωστή επιλογή: ii.

β)

Τη στιγμή \(t_1=9T/4\), το μέτωπο του κύματος έχει φτάσει στη θέση:

Το Β βρίσκεται για πρώτη φορά στη μέγιστη θετική απομάκρυνση. Ο χρόνος ταλάντωσής του από την άφιξη του κύματος είναι \(t_{\mathrm{ταλ}}=T/4\). Άρα:

Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος ΟΒ που είναι στιγμιαία ακίνητα βρίσκονται στις ακρότατες απομακρύνσεις:

Είναι επομένως τρία. Τα άκρα Ο και Β δεν συνυπολογίζονται στο ανοικτό διάστημα ΟΒ.

Β2 α)

Σωστή επιλογή: i.

β)

Εφαρμόζουμε διατήρηση της ορμής στον κατακόρυφο άξονα. Πρώτα γράφουμε τις αλγεβρικές συνιστώσες και κατόπιν τα μέτρα των ορμών:

Στον οριζόντιο άξονα:

Χρησιμοποιώντας τη σχέση (1):

Στη σχέση Compton αντικαθιστούμε τη γωνία σκέδασης και τη σχέση (2):

Β3 α)

Σωστή επιλογή: i.

Όταν το τετραγωνικό πλαίσιο έχει εισχωρήσει κατά x στο ομογενές μαγνητικό πεδίο, η κινητική ΗΕΔ στην πλευρά ΓΔ είναι:

Η πολικότητα είναι Γ(+) και Δ(−). Το επαγωγικό ρεύμα έχει φορά αντίθετη από τους δείκτες του ρολογιού και η δύναμη Laplace στην πλευρά ΓΔ αντιτίθεται στην κίνηση. Αφού η ταχύτητα είναι σταθερή:

Όταν το πλαίσιο βρεθεί ολόκληρο μέσα στο πεδίο, η ροή \(\Phi=B\alpha^2\) μένει σταθερή. Τότε μηδενίζονται η συνολική επαγωγική ΗΕΔ, το ρεύμα και η δύναμη Laplace. Για να διατηρηθεί η σταθερή ταχύτητα, η εξωτερική δύναμη μηδενίζεται επίσης.

Β3 β)

Σωστή επιλογή: iii.

Κατά την είσοδο κατά απόσταση α η κινητική ενέργεια δεν αλλάζει. Από το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας:

Γ1

Στα ιόντα ασκούνται η ηλεκτρική δύναμη και η δύναμη Lorentz. Η ευθύγραμμη ομαλή διέλευση απαιτεί μηδενική συνισταμένη:

Όλα τα ιόντα που περνούν χωρίς εκτροπή έχουν αυτή την ταχύτητα, ανεξάρτητα από τη μάζα τους.

Γ2

Γ3

Στο δεύτερο μαγνητικό πεδίο η δύναμη Lorentz είναι κεντρομόλος:

Τα ιόντα έχουν ίδιο μέτρο φορτίου και ίδια ταχύτητα. Επειδή \(m_1>m_2\), προκύπτει \(R_1>R_2\). Κάθε τροχιά είναι ημικύκλιο:

Συνεπώς στο Δ προσπίπτει το ισότοπο μάζας \(m_1\) και στο Γ το ισότοπο μάζας \(m_2\).

Γ4

Από τη διαφορά των δύο διαμέτρων:

Δ1

Για το κάτω σώμα Σ₁ στη θέση ισορροπίας:

Από τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα \(N_2=N=24\,\mathrm N\). Για το επάνω σώμα Σ₂:

Δ2

Στην κοινή θέση ισορροπίας:

Όσο τα σώματα παραμένουν σε επαφή εκτελούν κοινή ΑΑΤ:

Η δύναμη επαφής στο επάνω σώμα συμβολίζεται σταθερά με N₂. Με θετική φορά προς τα πάνω και απομάκρυνση x₂ από την κοινή ισορροπία, για το Σ₂ ισχύει:

Στην οριακή απώλεια επαφής \(N_2=0\). Άρα:

Η οριακή θέση βρίσκεται κατά Δℓ₀ πάνω από την κοινή θέση ισορροπίας. Επομένως η επαφή χάνεται ακριβώς στο φυσικό μήκος του ελατηρίου.

Δ3

Οι συνιστώσες της τάσης στο Γ είναι \(T_{\nu x}=T_\nu\operatorname{συν}\varphi\) κατά μέτρο και \(T_{\nu y}=T_\nu\operatorname{ημ}\varphi\). Η οριζόντια συνιστώσα έχει φορά προς τον τοίχο. Η εξωτερική δύναμη \(F\) έχει ήδη καταργηθεί. Στο φυσικό μήκος \(F_{\mathrm{ελ}}=0\), οπότε η κατακόρυφη συνιστώσα της αντίδρασης της άρθρωσης είναι \(A_y=0\).

Τη στιγμή αυτή \(F_{\mathrm{ελ}}=0\). Από την ισορροπία ροπών ως προς το Α:

Δ4

Από τη διατήρηση ενέργειας της κοινής ταλάντωσης, μέχρι την απώλεια επαφής:

Μετά τον αποχωρισμό το Σ₂ κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω υπό την επίδραση του βάρους του. Από το θεώρημα κινητικής ενέργειας, μέχρι να σταματήσει στιγμιαία:

Δ5

Η νέα συμπίεση ισορροπίας του Σ₁ είναι:

Στο φυσικό μήκος η απόσταση του Σ₁ από τη νέα ισορροπία είναι \(|x_1|=\Delta\ell_1=0{,}06\,\mathrm m\), ενώ \(\upsilon^2=3\). Η νέα ενέργεια είναι:

Α1–Α4

Α1: δ · Α2: γ · Α3: γ · Α4: β.

Α5

α) Σωστό · β) Λάθος · γ) Σωστό · δ) Σωστό · ε) Λάθος.

Β1

α) Σωστή απάντηση: ii.

β) Συγκρίνουμε τη γενική εξίσωση φάσης με τη δοσμένη:

Από τον νόμο μετατόπισης Wien και \(T_2=2T_1\):

Η ταχύτητα του φωτός είναι σταθερή:

Επομένως, η νέα φάση είναι:

Β2

α) Σωστή απάντηση: i.

β) Με \(R=m\upsilon/(B|q|)\), η σχέση \(L_2=5L_1\) δίνει:

Επίσης \(\lambda_2=\lambda_1/2\Rightarrow f_2=2f_1\). Άρα:

Β3

α) Σωστή απάντηση: ii.

Για να υπάρχει επαφή με το δεύτερο υποστήριγμα απαιτείται \(N_\Lambda\ge0\). Στο όριο απώλειας επαφής \(N_\Lambda=0\). Από τις ροπές ως προς Ζ:

β) Σωστή απάντηση: i. Στην κύλιση χωρίς ολίσθηση η ταχύτητα του ανώτερου σημείου του δίσκου έχει μέτρο \(\upsilon=2\upsilon_{\mathrm{cm}}\). Έτσι:

Γ1

α) Το σημείο διέρχεται 60 φορές από τη θέση ισορροπίας σε ένα λεπτό, επομένως εκτελεί 30 ταλαντώσεις:

β) Από τη γεωμετρία του κύματος:

γ) Ταχύτητα διάδοσης:

δ) Το κύμα φτάνει στο σημείο Δ τη στιγμή:

Από τη συνολική διαδρομή \(S=8A+2A=10A\), προκύπτει \(A=0{,}2\,\mathrm{m}\).

Γ2

Το PDF παραπέμπει στο σχολικό βιβλίο, Τεύχος Γ΄, σελίδα 46. Δεν περιέχει αναλυτική ανάπτυξη του συγκεκριμένου ερωτήματος.

Γ3

Πριν από την άφιξη του κύματος, \(\upsilon_\Delta(t)=0\) για \(0\le t<5\,\mathrm s\). Άρα για \(t\ge5\,\mathrm{s}\):

Από 5 s έως 8 s το σημείο κινείται για \(\Delta t=3\,\mathrm{s}=3T/2\).

Γ4

Για τη συμφασική κατάσταση του θέματος, \(\lambda'=x_\Delta=2{,}5\,\mathrm{m}\). Επομένως:

Η συχνότητα μειώνεται κατά 0,3 Hz.

Δ1

α) Στο σύστημα ελατήριο–σώμα Σ–ράβδος, οι δυνάμεις επαφής είναι εσωτερικές:

Η θέση ισορροπίας συμπίπτει με τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Το σύστημα εκτελεί ΑΑΤ με:

Η ράβδος εκτελεί την ίδια ταλάντωση, με \(D_\rho=M_\rho\omega^2\), οπότε \(\Sigma F_\rho=-M_\rho\omega^2x\). Χάνει την επαφή με το σώμα όταν η δύναμη επαφής μηδενιστεί, δηλαδή όταν \(x=0\).

β) Τη στιγμή αποχωρισμού τα δύο σώματα έχουν κοινή ταχύτητα:

Το σώμα Σ συνεχίζει ΑΑΤ μόνο του:

Δ2

Η ράβδος σαρώνει εμβαδόν \(\Delta A=L\Delta x\) σε χρόνο \(\Delta t\):

Η πολικότητα καθορίζεται από τη δύναμη Lorentz στα ηλεκτρόνια της ράβδου, όπως στο σχήμα.

Δ3

Για \(0\le t\le1\,\mathrm{s}\), \(\Sigma F=0\), άρα \(a=0\) και η ράβδος κινείται ομαλά με \(\upsilon_0=1\,\mathrm{m/s}\).

Από \(t_1=1\,\mathrm{s}\) έως \(t_2=3\,\mathrm{s}\) δέχεται τη σταθερή δύναμη \(F=3\,\mathrm{N}\):

Δ4

α) Οι δύο ημικυκλικοί κλάδοι έχουν ίδιο υλικό, μήκος και διατομή:

Η ράβδος εξακολουθεί να κινείται ομαλά με 6 m/s.

β) Για το ισοδύναμο κύκλωμα:

Δ5

α) Για στοιχειώδες τμήμα \(\Delta\ell\) του ημικυκλίου ΑΓ, από τον νόμο Biot–Savart:

Αθροίζοντας στο ημικύκλιο, \(\sum\Delta\ell=\pi r_1\):

Το πεδίο είναι κάθετο στη σελίδα, από τον αναγνώστη προς τη σελίδα.

β) Τα πεδία των ημικυκλίων ΔΝΖ και ΔΘΖ έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες φορές, αφού τα ρεύματα και οι ακτίνες τους είναι ίσα:

Άρα \(B_{\mathrm{ολ}}=1{,}2\pi\cdot10^{-7}\,\mathrm{T}\), προς το εσωτερικό της σελίδας.

Α1

Σωστή επιλογή: γ.

Α2

Σωστή επιλογή: α.

Α3

Σωστή επιλογή: β.

Α4

Σωστή επιλογή: δ.

Α5

α) Σωστό · β) Σωστό · γ) Λάθος · δ) Λάθος · ε) Σωστό

Β1 α)

Σωστή επιλογή: ii.

β)

Τη στιγμή \(t_1=9T/4\), το μέτωπο του κύματος έχει φτάσει στη θέση:

Το Β βρίσκεται για πρώτη φορά στη μέγιστη θετική απομάκρυνση. Ο χρόνος ταλάντωσής του από την άφιξη του κύματος είναι \(t_{\mathrm{ταλ}}=T/4\). Άρα:

Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος ΟΒ που είναι στιγμιαία ακίνητα βρίσκονται στις ακρότατες απομακρύνσεις:

Είναι επομένως τρία. Τα άκρα Ο και Β δεν συνυπολογίζονται στο ανοικτό διάστημα ΟΒ.

Β2 α)

Σωστή επιλογή: i.

β)

Εφαρμόζουμε διατήρηση της ορμής στον κατακόρυφο άξονα. Πρώτα γράφουμε τις αλγεβρικές συνιστώσες και κατόπιν τα μέτρα των ορμών:

Στον οριζόντιο άξονα:

Χρησιμοποιώντας τη σχέση (1):

Στη σχέση Compton αντικαθιστούμε τη γωνία σκέδασης και τη σχέση (2):

Β3 α)

Σωστή επιλογή: i.

Όταν το τετραγωνικό πλαίσιο έχει εισχωρήσει κατά x στο ομογενές μαγνητικό πεδίο, η κινητική ΗΕΔ στην πλευρά ΓΔ είναι:

Η πολικότητα είναι Γ(+) και Δ(−). Το επαγωγικό ρεύμα έχει φορά αντίθετη από τους δείκτες του ρολογιού και η δύναμη Laplace στην πλευρά ΓΔ αντιτίθεται στην κίνηση. Αφού η ταχύτητα είναι σταθερή:

Όταν το πλαίσιο βρεθεί ολόκληρο μέσα στο πεδίο, η ροή \(\Phi=B\alpha^2\) μένει σταθερή. Τότε μηδενίζονται η συνολική επαγωγική ΗΕΔ, το ρεύμα και η δύναμη Laplace. Για να διατηρηθεί η σταθερή ταχύτητα, η εξωτερική δύναμη μηδενίζεται επίσης.

Γ1

Στα ιόντα ασκούνται η ηλεκτρική δύναμη και η δύναμη Lorentz. Η ευθύγραμμη ομαλή διέλευση απαιτεί μηδενική συνισταμένη:

Όλα τα ιόντα που περνούν χωρίς εκτροπή έχουν αυτή την ταχύτητα, ανεξάρτητα από τη μάζα τους.

Γ2

Γ3

Στο δεύτερο μαγνητικό πεδίο η δύναμη Lorentz είναι κεντρομόλος:

Τα ιόντα έχουν ίδιο μέτρο φορτίου και ίδια ταχύτητα. Επειδή \(m_1>m_2\), προκύπτει \(R_1>R_2\). Κάθε τροχιά είναι ημικύκλιο:

Συνεπώς στο Δ προσπίπτει το ισότοπο μάζας \(m_1\) και στο Γ το ισότοπο μάζας \(m_2\).

Δ1

Το σώμα ισορροπεί στη θέση εκτροπής. Η δύναμη του ελατηρίου είναι προς τα πάνω, ενώ το βάρος και η εξωτερική δύναμη προς τα κάτω:

Δ2

Η συμπίεση στη θέση ισορροπίας είναι:

Το σώμα αφήνεται από την ηρεμία. Από τη διατήρηση της ενέργειας ταλάντωσης:

Δ3

Με θετική φορά προς τα κάτω, για \(t_0=0\) έχουμε \(x_0=+A\) και \(\upsilon_0=0\). Άρα:

Δ4

Οι συνιστώσες της τάσης στο Γ είναι \(T_{\nu x}=T_\nu\operatorname{συν}\varphi\) κατά μέτρο και \(T_{\nu y}=T_\nu\operatorname{ημ}\varphi\). Η οριζόντια συνιστώσα έχει φορά προς τον τοίχο. Η εξωτερική δύναμη \(F\) έχει ήδη καταργηθεί. Στο φυσικό μήκος \(F_{\mathrm{ελ}}=0\), οπότε η κατακόρυφη συνιστώσα της αντίδρασης της άρθρωσης είναι \(A_y=0\).

Στο φυσικό μήκος η δύναμη του ελατηρίου στη ράβδο είναι μηδενική. Λαμβάνουμε ροπές ως προς την άρθρωση Α, ώστε να απαλειφθεί η δύναμη της άρθρωσης:

Α1

Σωστή επιλογή: γ.

Α2

Σωστή επιλογή: δ.

Α3

Σωστή επιλογή: α.

Α4

Σωστή επιλογή: α.

Α5

α) Λάθος · β) Σωστό · γ) Λάθος · δ) Λάθος · ε) Σωστό

Β1 α)

Σωστή επιλογή: iii.

Εφαρμόζουμε τη σχέση μετατόπισης Compton και αντικαθιστούμε τη δοσμένη μεταβολή του μήκους κύματος:

Διαιρώντας με τον μη μηδενικό παράγοντα \(h/(mc)\), προκύπτει:

Στο επιτρεπτό διάστημα γωνιών σκέδασης αυτή είναι η μοναδική λύση: το φωτόνιο επιστρέφει προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Β1 β)

Σωστή επιλογή: i.

Διατηρείται η συνολική ορμή φωτονίου και ηλεκτρονίου:

Θεωρούμε θετική την αρχική φορά του φωτονίου. Εφόσον το σκεδαζόμενο φωτόνιο κινείται αντίθετα:

Β2

Σωστή επιλογή: i.

Για σημείο Μ ανάμεσα στην πηγή Α και στον τοίχο Β, το απευθείας κύμα διανύει απόσταση \(r_{\mathrm{απ}}=(AM)\), ενώ το ανακλώμενο διανύει \(r_{\mathrm{αν}}=(AB)+(BM)\). Επειδή \((AB)=(AM)+(BM)\), η διαφορά δρόμου είναι:

Μετακινώντας τον δέκτη κατά απόσταση d πάνω στο ΑΒ, η διαφορά δρόμου αλλάζει κατά 2d. Μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων —ή δύο διαδοχικών ελαχίστων— η διαφορά δρόμου μεταβάλλεται κατά ένα μήκος κύματος. Άρα:

Για το πρώτο διαπασών:

Για το δεύτερο διαπασών, στο ίδιο μέσο:

Β3 α)

Σωστή επιλογή: i.

β)

Η δύναμη Lorentz είναι κάθετη στην ταχύτητα και λειτουργεί ως κεντρομόλος. Για την οριακή τιμή του πεδίου, η κυκλική τροχιά εφάπτεται στη μεταλλική επιφάνεια. Το κέντρο Ο είναι η τομή των φορέων των δυνάμεων Lorentz στις δύο ακραίες θέσεις και \((AO)=(\Gamma O)=R=D\).

Από \(K=\frac12m\upsilon^2\) έχουμε \(m^2\upsilon^2=2mK\). Άρα:

Η τιμή είναι το οριακό κατώφλι· για τροχιά που δεν αγγίζει καθόλου την επιφάνεια απαιτείται μεγαλύτερο πεδίο.

Γ1

Οι ακτίνες είναι \(\ell_1=OA=0{,}4\,\mathrm m\) και \(\ell_2=O\Gamma=0{,}2\,\mathrm m\). Το Γ είναι η επαφή της ράβδου με τον εσωτερικό κυκλικό οδηγό. Η περιστροφή είναι ωρολογιακή.

Σε στοιχειώδη γωνιακή μετατόπιση \(d\theta\), το ενεργό τμήμα ΓΑ σαρώνει επιφάνεια:

Το μέτρο της κινητικής ΗΕΔ υπολογίζεται από τον ρυθμό σάρωσης της επιφάνειας:

Η δύναμη Lorentz οδηγεί σε πολικότητα Α(+) και Γ(−). Με ανοικτό διακόπτη:

Γ2

Ο κλάδος του πηνίου έχει συντελεστή αυτεπαγωγής \(L=0{,}2\,\mathrm H\) και ωμική αντίσταση \(R_1=1{,}2\,\Omega\). Ο άλλος κλάδος έχει \(R_2=0{,}6\,\Omega\).

Κλείσιμο διακόπτη

Με το κλείσιμο του διακόπτη το ρεύμα του πηνίου αυξάνεται. Κατά τον κανόνα Lenz η ΗΕΔ αυτεπαγωγής αντιτίθεται στην αύξησή του: ο άνω πόλος είναι (+) και ο κάτω (−). Αμέσως μετά το κλείσιμο το ρεύμα παραμένει μηδενικό, οπότε δεν υπάρχει ωμική πτώση τάσης στον κλάδο του πηνίου:

Το ρεύμα αυξάνεται, συνεπώς:

Γ3

Όταν αποκατασταθεί η μόνιμη κατάσταση, τα ρεύματα είναι σταθερά και \(\mathcal E_{\mathrm{αυτ}}=0\). Οι δύο παράλληλοι κλάδοι έχουν κοινή τάση \(\mathcal E_{\mathrm{επ}}=0{,}12\,\mathrm V\):

Γ4

Μετά το άνοιγμα του διακόπτη, οι δύο κλάδοι αποτελούν έναν κλειστό βρόχο και διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα μέτρου \(i(t)\), με τις φορές του σχήματος. Η αρχική του τιμή είναι \(i(0^+)=i_0=i_1=0{,}1\,\mathrm A\).

Μόλις ανοίξει ο διακόπτης, το πηνίο τείνει να διατηρήσει το ρεύμα στην προηγούμενη φορά του. Η πολικότητά του αντιστρέφεται: πάνω (−), κάτω (+). Το αρχικό ρεύμα του κλειστού πλέον βρόχου είναι \(i_0=i_1=0{,}1\,\mathrm A\).

Από τον δεύτερο κανόνα Kirchhoff:

Επειδή το ρεύμα μειώνεται:

Η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου μετατρέπεται σε θερμότητα στις αντιστάσεις:

Δ1

Για το σώμα Σ₁ που ισορροπεί:

Το αβαρές νήμα μεταφέρει την ίδια τάση, ενώ η ισορροπία ροπών της τροχαλίας δίνει:

Για τις ροπές του κυλίνδρου ως προς το κέντρο Κ:

Στη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου:

Δ2

Η μία πλήρης περιστροφή αντιστοιχεί σε:

Επειδή ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς ολίσθηση:

Το σημείο Α, όταν ξαναβρεθεί στην κορυφή, έχει ταχύτητα ίση με το άθροισμα μεταφορικής και γραμμικής ταχύτητας. Από την κύλιση χωρίς ολίσθηση:

Η αρχική ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι μηδενική. Επομένως:

Δ3

Η δοσμένη θερμική ισχύς αφορά τη φθίνουσα ταλάντωση μετά την κρούση. Για δύναμη αντίστασης μέτρου \(b|V_\Sigma|\):

Δ4

Από την ισορροπία πριν και μετά την κρούση, οι συμπιέσεις του ελατηρίου είναι:

Η αρχική ενέργεια της ταλάντωσης, με μηδενική δυναμική ενέργεια στη νέα ισορροπία, είναι:

Η απόσβεση μετατρέπει όλη αυτή την ενέργεια σε θερμότητα μέχρι την τελική ακινητοποίηση:

Η ενέργεια αυτή αφορά αποκλειστικά το διάστημα μετά την κρούση. Δεν υποθέτουμε διατήρηση της μηχανικής ενέργειας κατά τη φθίνουσα κίνηση· υπολογίζουμε την αρχική της τιμή, η οποία τελικά αποδίδεται ως θερμότητα.

Α1–Α4

Α1: β · Α2: δ · Α3: β · Α4: α.

Α5

α) Λάθος · β) Σωστό · γ) Σωστό · δ) Λάθος · ε) Λάθος.

Β1

α) Σωστή απάντηση: (i).

β) Από τη γραφική παράσταση, για \(x=0\), \(\varphi=4\pi\,\mathrm{rad}\), \(t=2\,\mathrm{s}\):

Για \(x=4\,\mathrm{m}\), \(\varphi=0\) την ίδια χρονική στιγμή:

Το στιγμιότυπο τη χρονική στιγμή \(t_2=2{,}5\,\mathrm{s}\) είναι:

Σε ακραία θέση βρίσκονται 5 σημεία.

Β2

α) Σωστή απάντηση: (ii).

β) Στη συχνότητα κατωφλίου η μέγιστη κινητική ενέργεια είναι μηδενική:

Για \(f_2=3f_1\):

Β3

α) Σωστή απάντηση: (ii). Το σωματίδιο κινείται με σταθερή ταχύτητα:

β) Σωστή απάντηση: (i). Οι ακτίνες των δύο ισοτόπων είναι:

Γ1

Το φορτίο ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου στο διάγραμμα έντασης–χρόνου:

Γ2

Γ3

Με αντικατάσταση των δεδομένων προκύπτει:

Γ4

α) Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα:

β) Τη στιγμή \(t=2\,\mathrm{s}\), \(\upsilon=2\cdot2+1=5\,\mathrm{m/s}\). Άρα:

γ) Ο ρυθμός αύξησης της ενέργειας του πηνίου:

Δ1

Για το σώμα 1 η ισορροπία κατά μήκος του κεκλιμένου δίνει \(T_2=m_1g\operatorname{ημ}\varphi=18\,\mathrm{N}\). Για τη ράβδο, από τις ροπές ως προς το Ο:

Δ2

Η κατακόρυφη ισορροπία του αβαρούς πλαισίου δίνει:

Δ3

Το σώμα 2 φτάνει στη θέση ισορροπίας με μέτρο ταχύτητας:

Για το σώμα 1:

Από τη διατήρηση της ορμής κατά την κρούση:

Το συσσωμάτωμα ακινητοποιείται στιγμιαία στην παλιά θέση ισορροπίας.

Δ4

Θέτουμε \(t=0\) τη στιγμή της κρούσης και θετική φορά από τη βάση προς την κορυφή του κεκλιμένου. Η απομάκρυνση \(x\) μετριέται από τη νέα θέση ισορροπίας.

Στην παλιά θέση ισορροπίας:

Στη νέα θέση ισορροπίας:

Η αρχική ταχύτητα του συσσωματώματος είναι μηδενική, άρα ξεκινά από ακραία θέση και \(A=\Delta\ell_1=0{,}18\,\mathrm{m}\).

Δ5

Α1

Σωστή επιλογή: γ.

Α2

Σωστή επιλογή: δ.

Α3

Σωστή επιλογή: α.

Α4

Σωστή επιλογή: α.

Α5

α) Λάθος · β) Σωστό · γ) Λάθος · δ) Λάθος · ε) Σωστό

Β1 α)

Σωστή επιλογή: iii.

β)

Εφαρμόζουμε τη σχέση μετατόπισης Compton και αντικαθιστούμε τη δοσμένη μεταβολή του μήκους κύματος:

Διαιρώντας με τον μη μηδενικό παράγοντα \(h/(mc)\), προκύπτει:

Στο επιτρεπτό διάστημα γωνιών σκέδασης αυτή είναι η μοναδική λύση: το φωτόνιο επιστρέφει προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Β2

Σωστή επιλογή: i.

Για σημείο Μ ανάμεσα στην πηγή Α και στον τοίχο Β, το απευθείας κύμα διανύει απόσταση \(r_{\mathrm{απ}}=(AM)\), ενώ το ανακλώμενο διανύει \(r_{\mathrm{αν}}=(AB)+(BM)\). Επειδή \((AB)=(AM)+(BM)\), η διαφορά δρόμου είναι:

Μετακινώντας τον δέκτη κατά απόσταση d πάνω στο ΑΒ, η διαφορά δρόμου αλλάζει κατά 2d. Μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων —ή δύο διαδοχικών ελαχίστων— η διαφορά δρόμου μεταβάλλεται κατά ένα μήκος κύματος. Άρα:

Για το πρώτο διαπασών:

Για το δεύτερο διαπασών, στο ίδιο μέσο:

Β3 α)

Σωστή επιλογή: i.

β)

Η δύναμη Lorentz είναι κάθετη στην ταχύτητα και λειτουργεί ως κεντρομόλος. Για την οριακή τιμή του πεδίου, η κυκλική τροχιά εφάπτεται στη μεταλλική επιφάνεια. Το κέντρο Ο είναι η τομή των φορέων των δυνάμεων Lorentz στις δύο ακραίες θέσεις και \((AO)=(\Gamma O)=R=D\).

Από \(K=\frac12m\upsilon^2\) έχουμε \(m^2\upsilon^2=2mK\). Άρα:

Η τιμή είναι το οριακό κατώφλι· για τροχιά που δεν αγγίζει καθόλου την επιφάνεια απαιτείται μεγαλύτερο πεδίο.

Γ1

Κλείσιμο διακόπτη

Με το κλείσιμο του διακόπτη το ρεύμα του πηνίου αυξάνεται. Κατά τον κανόνα Lenz η ΗΕΔ αυτεπαγωγής αντιτίθεται στην αύξησή του: ο άνω πόλος είναι (+) και ο κάτω (−). Αμέσως μετά το κλείσιμο το ρεύμα παραμένει μηδενικό, οπότε δεν υπάρχει ωμική πτώση τάσης στον κλάδο του πηνίου:

Το ρεύμα αυξάνεται, συνεπώς:

Γ2

Όταν αποκατασταθεί η μόνιμη κατάσταση, τα ρεύματα είναι σταθερά και \(\mathcal E_{\mathrm{αυτ}}=0\). Οι δύο παράλληλοι κλάδοι έχουν κοινή τάση \(\mathcal E=0{,}12\,\mathrm V\):

Γ3

Μετά το άνοιγμα του διακόπτη, οι δύο κλάδοι αποτελούν έναν κλειστό βρόχο και διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα μέτρου \(i(t)\), με τις φορές του σχήματος. Η αρχική του τιμή είναι \(i(0^+)=i_0=i_1=0{,}1\,\mathrm A\).

Μόλις ανοίξει ο διακόπτης, το πηνίο τείνει να διατηρήσει το ρεύμα στην προηγούμενη φορά του. Η πολικότητά του αντιστρέφεται: πάνω (−), κάτω (+). Το αρχικό ρεύμα του κλειστού πλέον βρόχου είναι \(i_0=i_1=0{,}1\,\mathrm A\).

Από τον δεύτερο κανόνα Kirchhoff:

Επειδή το ρεύμα μειώνεται:

Γ4

Η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου μετατρέπεται σε θερμότητα στις αντιστάσεις:

Δ1

Για το σώμα Σ₁ που ισορροπεί:

Το αβαρές νήμα μεταφέρει την ίδια τάση, ενώ η ισορροπία ροπών της τροχαλίας δίνει:

Για τις ροπές του κυλίνδρου ως προς το κέντρο Κ:

Στη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου:

Δ2

Η μία πλήρης περιστροφή αντιστοιχεί σε:

Επειδή ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς ολίσθηση:

Η δοσμένη ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι \(\upsilon_{\mathrm{cm},1}=10\,\mathrm{m/s}\).

Η αρχική ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι μηδενική. Επομένως:

Δ3

Κατά την ακαριαία πλαστική κρούση διατηρείται η κατακόρυφη ορμή. Θετική φορά επιλέγουμε προς τα κάτω:

Υπολογίζουμε την κινητική ενέργεια πριν και μετά την κρούση: